Espérance (ou Moyenne) de $Y$: $\bbox[aqua]{\mathbb{E}(Y)}=\bbox[yellow]{\overline{{\left(y_{[.]}\right)}}_{+\infty}}$

Ecart-type de $Y$: $\bbox[aqua]{\sigma(Y)}=\bbox[yellow]{\overleftrightarrow{{\left(y_{[.]}\right)}}_{+\infty}}$ (et $\sigma(Y)=\sqrt{\mathbb{V}ar(Y)}$)

Quantile de $Y$: $\bbox[aqua]{q_{95\%}(Y)}=\bbox[yellow]{q_{95\%}({\left(y_{[.]}\right)}_{+\infty})}$

Loi de probabilité de $Y$: $[+\infty]$-histogramme (discret ou continu) représentant la répartition de "toutes" les réalisations $\mathbf{y_{[+\infty]}}$ de $Y$, chacune d’elles étant représentée par une $[+\infty]$-brique (point ou "crêpe") dont l’abscisse détermine la valeur.

échantillon aléatoire ("futur") $\mathbf{Y}=(Y_1,\cdots,Y_n)$: $\widehat{\mu}(\mathbf{Y}):=\overline{Y}:=\displaystyle\frac1{n}\sum_{i=1}^n Y_i$

échantillon du jour J ("présent") $\mathbf{y}=(y_1,\cdots,y_n)$: $\widehat{\mu}(\mathbf{y}):=\overline{y}:=\displaystyle\frac1{n}\sum_{i=1}^n y_i$

échantillon possible ("conditionnel") $\mathbf{y_{[k]}}=(y_{[k],1},\cdots,y_{[k],n})$: $\widehat{\mu}(\mathbf{y_{[k]}}):=\overline{y_{[k]}}:=\displaystyle\frac1{n}\sum_{i=1}^n y_{[k],i}$

Théorème de la Limite Centrale (loi de probabilité de la moyenne d’un "futur" échantillon $\mathbf{Y}=(Y_1,\cdots,Y_n)$) \[\overline{Y}=\displaystyle\frac1n\sum_{i=1}^n Y_i\mbox{ suit approximativement une loi }\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\] qui s’interprète via l'A.E.P. par le fait que le $[\infty]$-histogramme représentant la répartition d'une infinité de réalisations $\left(\overline{y_{[.]}}\right)_{\infty}$ a pour forme une courbe d’équation $\frac{\sqrt{n}}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{n}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right)$ représentant une "bosse" centrée en $\mu$ et d’autant plus concentrée autour de $\mu$ que la taille $n$ de l’échantillon est grande. Via l'A.E.P., on voit un point (une $[+\infty]$-brique) sous cette courbe comme une moyenne possible $\overline{y_{[.]}}$ dont la valeur se lit en abscisse.

Estimation sans biais: $\overline{\widehat{\mu}(\mathbf{y_{[.]}})}_{+\infty}=\mathbb{E}(\widehat{\mu}(\mathbf{Y}))=\mu$

Estimation autant meilleur que $n$ est grand: $\sigma_{\widehat{\mu}}:=\overleftrightarrow{\widehat{\mu}(\mathbf{y_{[.]}})}_{+\infty}=\sigma(\widehat{\mu}(\mathbf{Y})) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ La quantité $\sigma_{\widehat{\mu}}$, appelée la qualité de l’estimation $\widehat{\mu}(.)$, est l’une des notions fondamentales de cours. Cependant, cette quantité est inconnue et, grâce à l’A.M.P., est fort heureusement estimée le jour J par l’erreur standard $\widehat{\sigma_{\widehat{\mu}}}(\mathbf{y}):=\frac{\widehat{\sigma}(\mathbf{y})}{\sqrt{n}}$. La formule d’obtention de l’erreur standard dépend bien évidemment de la nature du paramètre d’intérêt à estimer (voir formulaire de cours). Sur un plan pratique, ces quantités s’obtiennent par une simple formule R (grâce au package R asympTest).

L’estimation par Intervalle de Confiance (à $95\%$ de niveau de confiance) est une extension naturelle de l’estimation ponctuelle qui intègre la notion d'erreur standard mesurant la qualité d’estimation.

L’Intervalle de Confiance (à $95\%$ de niveau de confiance) est défini très simplement par estimation moins ou plus 2 fois l’erreur standard: \begin{eqnarray} \bbox[background-color: #FF88FF]{IC_{\mu,95\%}(\mathbf{y})} &=& [\widehat{\mu}(\mathbf{y})-1.96\times \widehat{\sigma_{\widehat{\mu}}}(\mathbf{y}),\widehat{\mu}(\mathbf{y})+1.96\times \widehat{\sigma_{\widehat{\mu}}}(\mathbf{y})] \nonumber \\ &=& \bbox[background-color: #FF88FF]{\widehat{\mu}(\mathbf{y}) \mp 1.96\times \widehat{\sigma_{\widehat{\mu}}}(\mathbf{y})} \nonumber \end{eqnarray}

via l'A.E.P., $IC_{\mu,95\%}(\mathbf{y})$ est un Intervalle de Confiance parmi une infinité d’Intervalles de Confiance $\left(IC_{\mu,95\%}(\mathbf{y_{[.]}})\right)_{+\infty}$ qu’on on aurait pu construire dont on sait qu’approximativement $95\%$ contiendraient le vrai paramètre $\mu$ inconnu.

Cela traduit la définition A.M.P. d’un Intervalle de Confiance de $\mu$ : $\mathbb{P}\left(\mu \in IC_{\mu,95\%}(\mathbf{Y})\right)\simeq 95\%$

cas unilatéral gauche: $\mu<\mu_0 \Longleftrightarrow \delta_{\mu,\mu_0}<0$

cas unilatéral droit: $\mu>\mu_0 \Longleftrightarrow \delta_{\mu,\mu_0}>0$

cas bilatéral: $\mu\neq\mu_0 \Longleftrightarrow \delta_{\mu,\mu_0}\neq0$

cas unilatéral gauche: $\widehat\mu(\mathbf{y})<\mu^{<}_{lim} \Longleftrightarrow \widehat\delta_{\mu,\mu_0}(\mathbf{y})<\delta^{<}_{lim}$

cas unilatéral droit: $\widehat\mu(\mathbf{y})>\mu^{>}_{lim} \Longleftrightarrow \widehat\delta_{\mu,\mu_0}(\mathbf{y})<\delta^{>}_{lim}$

cas bilatéral: $\left(\widehat\mu(\mathbf{y})<\mu^{<}_{lim} \mbox{ ou } \widehat\mu(\mathbf{y})>\mu^{>}_{lim}\right)$ $\Longleftrightarrow$ $\left(\widehat\delta_{\mu,\mu_0}(\mathbf{y})<\delta^{<}_{lim} \mbox{ ou } \widehat\delta_{\mu,\mu_0}(\mathbf{y})<\delta^{>}_{lim}\right)$

Type I ou 1ère espèce: Accepter à tort avec les données l’affirmation d’intérêt (ex produit B: $\delta_{\mu^B,0.15}(\mathbf{y}):=3 > \delta^{>}_{lim}:=2$ alors que $\mu^B=0.1$)

Type II ou 2ème espèce: Ne pas accepter à tort avec les données l’affirmation d’intérêt (ex produit B: (ex produit B: $\delta_{\mu^B,0.15}(\mathbf{y}):=1 \ngtr \delta^{>}_{lim}:=2$ alors que $\mu^B=0.2$)

le paramètre d’intérêt (ici, $\mu^B$) étant inconnu, on envisage toutes les situations en déplaçant librement la valeur de $\mu^B$. L’ensemble des estimations des paramètres d’intérêt (resp. paramètre d’écart (standardisé)) se répartissent autour du paramètre d’intérêt (resp. paramètre d’écart) sous la forme d’une loi Normale.

il y a généralement 2 types de situations: les bonnes situations représentant les valeurs de $\mu^B$ satisfaisant l'affirmation d’intérêt (ici $\mu^B>0.15$, le produit B est rentable) et par conséquent les mauvaises situations correspondant donc à $\mu^B\leq 0.15$. Insistons sur le fait que le cas de l’égalité du paramètre d’intérêt à la valeur de référence (ici, $\mu^B=0.15$) est parmi les mauvaise situations.

pour toute valeur fixée arbitrairement d’un seuil limite ($\mu_{lim}$ ou $\delta_{lim}$), on constate que les deux risques associés aux deux types d’erreur de décision s’exprime via l'A.E.P. par

graphiquement, nous constatons que ces deux risques sont maximaux quand logiquement nous nous approchons de la situation où le paramètre d’intérêt est le plus possible de la valeur de référence.

une conséquence directe est que la somme des deux risques maximaux de 1ère et 2ème espèces est (quasiment) égale à $100\%$

on ne pourra donc pas déterminer le(s) seuil(s) limite de sorte à contrôler simultanément les risques de de 1ère et 2ème espèces raisonnablement "petits" (puique "petit" + "petit" ne peut être égal à $100\%$).

on ne pourra donc déterminer le(s) seuil(s) limite qu’en contrôlant le plus grave de ces deux risques qui sera toujours le risque de 1ère espèce (dans le produit B, c’est le risque de devenir pauvre).

on ne considère alors que les mauvaises situations ($\mu^B\leq 0.15$) et il apparaît que, parmi ces situations, le risque de 1ère espèce est maximal dans la pire des (mauvaises) situations

en conclusion et ce sera une règle générale: pour déterminer le(s) seuil(s) limite, il faut se placer dans la pire des situations qui représente l’unique situation où le paramètre d’intérêt est égale à la valeur de référence. De manière équivalente, elle correspond à la situation où le paramètre d’écart (standardisé) est égale à 0.

la dernière étape consiste à fixer à une valeur raisonnablement petite ($\alpha=5\%$ en général), dans la pire des situations, la (les) surface(s) correspondant aux estimations du côté du (des) seuil(s) limite de sorte à accepter l'affirmation d’intérêt.

puisque, pour un paramètre d’intérêt $\mu$ de type moyenne et dans la pire des situations, nous ne connaissons la répartition des estimations (loi $\mathcal{N}(0,1)$) que pour le paramètre d’écart (standardisé) $\delta_{\mu,\mu_0}$, seul(s) le(s) seuil(s) limite $\delta^{<}_{lim}$ et/ou $\delta^{>}_{lim}$ ne sont déterminables, représentant des quantiles de la loi Normale $\mathcal{N}(0,1)$. La répartition des estimations du paramètre d’intérêt est en général INCONNUE dans la pire des situations puisqu’elle dépend généralement de la qualité des estimations, mesurée par l’écart-type $\sigma_{\widehat\mu}:=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ de toutes ces estimations qui dépend du paramètre "parasite" INCONNU $\sigma$.

de manière exceptionnelle, pour le cas d’un paramètre d’intérêt $p$ de type proportion, la qualité des estimations ne dépend uniquement que de la taille d’échantillon et du paramètre d’intérêt $p$ puisque $\sigma=\sqrt{p\times(1-p)}$. Il en résulte que dans la pire des situations (ex: produit A, $p^A=15\%$), la qualité d’estimations $\sigma_{\widehat{p^A}}$ est égale à $\sqrt{\frac{15\%\times85\%}{1000}}$. Pour l’exemple du produit A, nous pouvons aussi déterminer le(s) seuil(s) limite $p^{<}_{lim}$ et $p^{>}_{lim}$ qui s’obtiennent donc comme des quantiles d’une loi Normale $\mathcal{N}\left(15\%,\sqrt{\frac{15\%\times85\%}{1000}}\right)$.

toutefois, sur un plan méthodologique, nous priviligierons toujours la Règle de Décision basée sur l'estimation du jour J du paramètre d’écart (standardisé) puisqu’il est toujours possible de déterminer le(s) seuil(s) limite indépendamment de la nature du paramètre d’intérêt (proportion, moyenne ou variance) qui s’obtiennent comme des quantiles de la loi Normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.

en R, cela ne revient, en général, qu’à connaître l’instruction $\mathbf{qnorm}$ appliquée aux ordres des quantiles $95\%$ et $97.5\%$, i.e. $\mathbf{qnorm(.95)\simeq 1.645}$ et $\mathbf{qnorm(.95)\simeq 1.96 \simeq 2}$.

sur un plan pratique, cela se résume à comparer le jour J, \[\mbox{Estimation du paramètre d’écart (standardisé)}:=\frac{\mbox{Estimation (du paramètre d’intérêt)} - \mbox{Valeur de Référence}}{\mbox{Erreur Standard}}\] au(x) seuil(s) limite directement reliés aux quantiles $\mathbf{qnorm(.95)}$ ou $\mathbf{qnorm(.975)}$.